Lactose Hydrolyse Übung

Graphische Bestimmung der maximalen Reaktionsgeschwindigkeit und der Michaelis-Menten-Konstanten

Berechnung der Parameter aus der Lineweaver-Burke- und Eadie-Hofstee-Auftragung. Lineweaver-Burke eignet sich zur Bestimmung der Michaelis-Menten-Konstanten, da der Fehler im Bereich der x-Achse relativ klein ist. Mit Hilfe von Eadie-Hofstee kann die maximale Reaktionsgeschwindigkeit abgelesen werden. Auch ist im Bereich der y-Achse der Fehler relativ gering.

(1)

\begin{align} f(x) = 5,31 \cdot \left( - \frac{1}{K_M} \right) + 0,21 \\ K_M = \frac{5,31}{0,21} = 25,29~\frac{g}{l} \end{align}

(2)

\begin{align} f(x) = -24,2 \cdot \frac{v}{S} + 4,66 \\ v_{max} = 4,66~\frac{g}{l \cdot min} \end{align}

Die Michaelis-Menten-Konstante gibt die Substratkonzentration an, an der die Hälfte aller aktiven Zentren der Enzyme besetzt sind. Aus der Auftragung der Michaelis-Menten-Kinetik kann man sehen, dass die höchste Reaktionsgeschwindigkeit zwischen 100 und 200 g/l zu erwarten ist. Laut Lösung sollte man auf 25 % Trockenmasse aufkonzentrieren. Das kann ich leider nicht nachvollziehen.

Edit:
In der Angabe im Verfahrensschema steht ganz klein im obersten Kreis die Eingangskonzentration der Trockenmasse = 5% TM.
Wenn eine 4%ige Laktose-Lösung auf 20% (200 g/l) aufkonzentriert werden soll, entspricht das einem Faktor 5. Mischkreuz!
Trockenmasse Anfang = 5% TM multipliziert mit 5 => 25% TM.

Bestimmung Inhibitorkonstante

Zur Ermittlung der Inhibitorkonstante K_i werden die Graphen in einer Dixon-Auftragung dargestellt. Das entspricht der Lineweaver-Burke-Auftragung. Der gemeinsame Schnittpunkt der Graphen stellt die Inhibitorkonstante K_i dar.

Durch das Gleichstellen der Geradengleichungen erhält man einen Wert für K_i bei 2,3 g/l. Der Schnittpunkt der Geraden zur Feststellung von K_i funktioniert hier bei einer kompetetiven Hemmung. Bei einer nicht-kompetetiven Hemmung liegt der Schnittpunkt aller Graphen auf der x-Achse.

Bestimmung Hydrolysezeit

Durch Umstellen und Integration der Michaelis-Menten-Kinetik bei kompetitiver Hemmung lässt sich die Hydrolysezeit bestimmen. Über den Hydrolysegrad bestimmt sich die Substratkonzentration zum gesuchten Zeitpunkt.

(3)

\begin{align} H = \frac{S_0 - S}{S_0} \\ S = S_0 (1 - H) = 200~\frac{g}{l} \cdot (1 - 0,8) = 40~\frac{g}{l} \end{align}

(4)

\begin{align} v = -\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = v_\mathrm{max} \frac{S}{K_M\left ( 1 + \frac{I}{K_i} + S \right )} \\ - \int_{S_0}^{S} \left ( K_M \frac{1}{S} + \frac{K_M}{K_i} S_0 \frac{1}{S} - \frac{K_M}{K_i} + 1 \right ) \mathrm{d}S = \int_{S_0}^{S} \mathrm{d}t \cdot v_\mathrm{max} \\ \left ( K_M + \frac{K_M}{K_i} S_0 \right ) \ln {\left ( \frac{S_0}{S} \right )} + \left ( 1 - \frac{K_M}{K_i} \right )\left ( S_0 - S \right ) = t \cdot v_\mathrm{max} \\ t = \left ( \frac{K_M K_i + K_M S_0}{v_\mathrm{max} K_i} \right ) \ln{\left( \frac{S_0}{S}\right )} + \left( \frac{K_i - K_M}{v_\mathrm{max} K_i} \right ) \left( S_0 - S \right ) \end{align}